怪奇語言APL

網上搜尋『陣列』的編程問題時，見到 Mozilla Developer Network 有Javascript的陣列操作例子。於是思考，用APL寫的話又會如何？以下係兩種語言的比較，其中Javascript的程式碼係直接取自MDN網頁： 陣列建構 // Javascript let fruits = ['Apple', 'Banana'] ⍝ APL fruits←'Apple' 'Banana' 陣列索引 // Javascript let first = fruits[0] ⍝ APL first←fruits[1] 另外在APL之中，也可以用函數 ⌷ 提取陣列元素： ⍝ APL first←1⌷fruits 以迴圈列印陣列元素 // Javascript fruits.forEach(function(item, index, array) { console.log(item, index) }) ⍝ APL {⎕←fruits[⍵],⍵}¨⍳⍴fruits ⍝ APL again ⍪fruits,¨(⍳⍴fruits) 一如其他直譯式語言，在APL輸入表達式後都會列印出表達式的值。所以我提供第二個簡潔一點方案，即係將 fruits 及 ⍳⍴fruits 產生的指數陣列以函數 ,¨ 逐個配對，並以函數 ⍪ (1st axis catenate) 轉化為2行 x 1列的二維陣列，顯示出來便有垂直排列效果： 加入新元素至陣列末端 // Javascript let newLength = fruits.push('Orange') APL newLength←≢fruits←fruits,⊂'Orange' 需要解釋一下APL語句

又係編程解題，先看題目： 題目出自 Project Euler第八題 ，要求找出以上1000位數字之中，任何連續13個數字的乘積的最大值。 這條題目早於2017年就已經解答過並提交了正確的答案。當時的APL程式： 毋庸置疑是一場災難，非常驚嘆自己可以寫出這樣笨的程式，也許出於當時對陣列編程的陌生吧。加上劣拙的英語註解，整片程式與一塊廢鐵無異。當時的思路大致如下： 將1000位數字以字串C儲存 字串C轉化位1000個元素的陣列D，D的每個元素相當於數字的每個位數 將陣列D轉化為12個76行 x 13列的二維陣列（因為1000可以被13整除76次） 再將二維陣列的每一行中的13個位數相乘 最大的乘積即為答案 時值2020年，再看到同一條題目，我想到的答案卻是： 程式碼可以大量簡化是因為當中使用了" / "運算子。在雙價 (dyadic) 使用下，" / "運算子將左面的函數安插在右面陣列的元素之中，即係函式語言中的還原 (reduction)： 以上的表達式，執行起來就好似以下的一樣： 由此可見使用" / "運算子可以大幅簡化程式碼之餘，卻不會犧牲可讀性。更強大的功能係，在函數左方加入數字引數，可以達致區間還原 (partitioned reduction) 如下： 第一個表達式之中，函數  +  並沒有用作還原整條陣列，而是對每三個順序元素還原一次，區間大小由左引數3決定，亦是題解  ⌈/13×/⍎¨C 中  13  的意義。最後用  ⌈  (max) 選出最大的乘積同樣仰賴&quo

APL 語言之中，有一個運算子"power"可以幫助計算數學中的黃金比例。 APL 表達式幾乎與數學定義一樣漂亮、簡潔： 沒錯，只有7個 unicode 字元的表達式，便計算出黃金比例。對數論稍有認識的同仁，也許知道黃金比例的連續分數是： (圖片連結自 維基百科 ) 其定義不太明顯地使用了遞迴，以一般編程語言表現的話大概離不開： def phi(N): return 1 + (1 % phi(N)) end 根據數論，無理數只能以無限連續分數表達，即上面圖示中的 "..." 應該無窮盡地延伸下去，才為之正確的黃金比例。而上述函數定義亦導致無限遞迴，定義上雖然沒有錯，但運作上會導致 stack overflow，很難說是正確的程式。 那麼，APL 是如何僅憑十個字元計算出黃金比例呢？或者首先應該問：APL 返回的值正確嗎？以下係 Wolfram 所給的黃金比例的小數約數： 1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135... 而 APL 給出的值(使用 NARS2000 實作)： 1.618033988749894 可見小數點後16個位被截斷 (truncate) 了，而小數點後1至15位都脗合。先撇除電腦表達、顯示浮點值的複雜問題， 1.618033988749894應該是可接受的約數。 下一個問題：APL 表達式是如何達致遞迴？秘訣在於 ⍣ 稱呼作"power"的運算子。 表達式 {1+1÷⍵}⍣≡1 中， ⍣ 的作用是 呼叫 {1+1÷⍵} 1 結果為整數2，與原先的參數(整數1)以函數 ≡ 比較 2≡1 返回整數0亦即布林值false 如果上一步得出結果為布林值true，則以整數2為答案，否則繼續下一步 返回第一步，以整數2作為輸入 也許將 ≡ 函數替換成先把左、右參數列印的匿名函數會比較容易理解：

APL實在是code golfing的利器。 今日突然想練一練code golf，馬上到 code-golf.io 看看，見到一道列印首二十行 Pascal Triangle 的題目，而排行第一的挑戰者居然使用了52個字元的答案。直覺告訴我APL應該可以更精煉，於是決定試試挑戰。 先公佈我的題解，只需要26個字元： 題目比預期中難，用了差不多半個小時仍然處理不好base case，即單一元素的陣列{1}。按下面來自維基的示範，當輸入為陣列V = {1, 3, 3, 1}，應先將第1、2個元素相加並得出新元素1 + 3 = 4，如是者再重複相加第2、3及3、4個元素，得出新元素3 + 3 = 6與3 + 1 = 4： (圖片鏈結自 維基百科 ) 於是問題便轉化為產生陣列{1, 3, 3, 1}的指標的二元組(2-tuple) {1, 2}，{2, 3}，{3, 4}。用以存取陣列V的元素，並相加起來： 再費一些功夫抽取對角線上的元素{4, 6, 4}便可以了，感覺好像快將完成解答。 幾個想法突然湧現： 這樣的程式碼只是將程序式編程(procedural programming)的思維照搬不誤 程式碼極為欠缺美感，且勢必多於52個字元 致命的是，當陣列V為{1}的時候，會引致錯誤 原因係當V為{1}時， ⍴(¯1↓⍳⍴V) (1↓⍳⍴V) 的外積(outer product)是空的二維陣列，導致匿名函數  {+/V[⍺ ⍵]} 發生錯誤。縱使以常理推斷，陣列中沒有任何元素的時候，前述的函數應該不會被呼叫才對。例如python之中將必然拋出錯誤的lambda用於空陣列上： 再仔細思考，輸入陣列{1, 3, 3, 1}時只需要將輸入去掉頭、尾 (即{1, 3, 3}與{3, 3, 1})相加便可得出{4, 6, 4}，再無條件地將{1}置於{4, 6, 4}的頭、尾，就可以得出Pascal Triangle的第五行{1, 4, 6, 4, 1}。 直觀地翻譯為APL，就得出題解使用的 匿名函數  {1,⍨1,(¯1↓⍵)+1↓⎕←⍵} ，最重要係當輸入為純量1或者陣列{1}時，輸出都會係{1, 1}。 不太理解為何其他參與者不用 J語言 作答，相信可以得出更精簡的

上星期同幾個朋友去酒吧玩樂，興之所至玩起經典遊戲“大話骰”來。玩家總共有五人，其中一個朋友起手便叫“七個二”，雖則一點可以用作“百搭”，但酒後的直覺告訴我“七個二”應該是很進取的開局。於是我便要求開了。 結果我輸了。 事後我決定找出五人大話骰中“七個二”的概率，但我的所有概率知識都已經還給老師了，怎麼辦？ 想了一會，用電腦模擬擲骰好了，省力不費時。用甚麼語言？除了APL，不作他選。 每局開始，5個人分別擲5粒骰，即係產生25個1至6的亂數： 每次模擬一局未免太沒有效率，但為了方便示範，暫時模擬五局好了： 用 二維陣列 裝載擲骰結果，每一“橫行”代表一局。先用變數D暫存結果，方便核對。 現在數算每局中有多少個一(“百搭”)或二點： 由於只模擬了五局，用人眼便可以印證以上結果正確。 那麼五局之中，有多少局出現等於、多於七個二？ 所有結果都有多於、等於“七個二”。或者係運氣使然，所以才會完敗？按簡單機率理論，增加試驗次數 (trial) 應該會使結果趨向期望值 (expected value)。只要將變數D替換成很多局的結果便可以： 試驗一萬及十萬次，多於、等於“七個二”的概率分別得出78.47%和77.946%。 難怪我會壯烈犧牲。

先看看題目要求： 這是相對容易的一條題目吧，以下用 NARS2000 解題。 題目要求寫一個函數Z，當Z被輸入引數 N（0至100）的時候，傳回相對應的字母評級，就好似小學生的考試評級一樣。 思路非常簡單：建立字母陣列V，V 由65個F（0分至64分）、5個D（65分至69分）、10個 C（依此類推）、10個B及11個A順序組成；然後用N做陣列V的指數，返回V[N+1]的值。用圖像表示： 提交的程式碼如下： 解說一下： 表達式 (65 5 10 10 11)/'FDCBA' 用 replicate 函數 " /"  建構陣列 V 於是陣列 V  由65個  F ，5個  D ，10個  C ，10個  B ，11個  A  組成 基於右引數 ⍵ ，提取V的第 ⍵+1 個元素（何以？因為 Z 0 要傳回 V 的第 1 個元素，而 Z 100 則需要傳回V的第 101 個元素，如此類推） 注意，這個寫法容許 ⍵ 係 陣列 ，也是題目的要求。例如： APL 的簡潔總是給人一種不能言喻的美感。 一項更正： 原文介紹 " / " 時把它稱作運算子，但在以上用法中，其作用應為函數。